Десятичная дробь в обязательном порядке содержит запятую. Та числовая часть дроби, которая располагается левее запятой, называется целой; правее - дробной:

5,28 5 - целая часть 28 - дробная часть

Дробная часть десятичной дроби состоит из десятичных знаков (десятичных разрядов):

• десятые - 0,1 (одна десятая);
• сотые - 0,01 (одна сотая);
• тысячные - 0,001 (одна тысячная);
• десятитысячные - 0,0001 (одна десятитысячная);
• стотысячные - 0,00001 (одна стотысячная);
• миллионные - 0,000001 (одна миллионная);
• десятимиллионные - 0,0000001 (одна десятимиллионная);
• стомиллионные - 0,00000001 (одна стомиллионная);
• миллиардные - 0,000000001 (одна миллиардная) и т. д.

• прочитать число, составляющее целую часть дроби и добавить слово "целых ";
• прочитать число, составляющее дробную часть дроби и добавить название младшего разряда.

Например:

• 0,25 - ноль целых двадцать пять сотых;
• 9,1 - девять целых одна десятая;
• 18,013 - восемнадцать целых тринадцать тысячных;
• 100,2834 - сто целых две тысячи восемьсот тридцать четыре десятитысячных.

Запись десятичных дробей

Чтобы записать десятичную дробь, необходимо:

• записать целую часть дроби и поставить запятую (число, означающее целую часть дроби всегда заканчивается словом "целых ");
• записать дробную часть дроби таким образом, чтобы последняя цифра попала в нужный разряд (при отсутствии значащих цифр в определенных десятичных разрядах они заменяются нулями).

Например:

• двадцать целых девять десятых - 20,9 - в этом примере все просто;
• пять целых одна сотая - 5,01 - слово "сотая" означает, что после запятой должны стоять две цифры, но, поскольку в числе 1 нет разряда десятых, он заменяется нулем;
• ноль целых восемьсот восемь тысячных - 0,808;
• три целых пятнадцать десятых - такую десятичную дробь записать невозможно, потому, что в произношении дробной части допущена ошибка - число 15 содержит два разряда, а слово "десятых" подразумевает только один. Правильно будет три целых пятнадцать сотых (или тысячных, десятитысячных и т. д.).

Сравнение десятичных дробей

Сравнение десятичных дробей проводится аналогично сравнению натуральных чисел .

1. сначала сравниваются целые части дробей - больше будет та десятичная дробь у которой больше ее целая часть;
2. если целые части дробей равны, сравнивают поразрядно дробные части, слева направо, начиная от запятой: десятые, сотые, тысячные и т.д. Сравнение ведут до первого несовпадения - больше будет та десятичная дробь у которой будет больше неравная цифра в соответствующем разряде дробной части. Например: 1,28 3 > 1,27 9, т. к. в сотых разрядах у первой дроби стоит 8, а у второй 7.

Тема:

Цель: познакомить учащихся с новыми числами - десятичными дробями, формировать знания и

Тип урока:

Оборудование:

заданиями.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме "Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей."»

Тема: Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей.

Цель: познакомить учащихся с новыми числами – десятичными дробями, формировать знания и

владение методами математики; воспитывать культуру математического мышления.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютер у учителя, экран, мультимедийный проектор; на столах: листы с

заданиями.

Структура урока:

Организационный момент.

Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть новое знание, но, как вам известно, каждое новое знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому начнем с повторения.

Подготовка к изучению нового материала.

Решите анаграмму: дробь, угол, числитель, знаменатель.

Прочитайте, числа в таблице разрядов.

Из предложенных чисел выберите: натуральные числа, правильные дроби, неправильные дроби, смешанные числа.

Ознакомление с новым материалом.

Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 и др.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5 . 67 , 6789 . 1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей

Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Определение 1

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000 , 100 , 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 6 10 мы можем указать 0 , 6 , вместо 25 10000 – 0 , 0023 , вместо 512 3 100 – 512 , 03 .

О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.

Как правильно читать десятичные дроби

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0 , 14 , которой соответствует 14 100 , читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56 , 002 , которой соответствует 56 2 1000 , мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0 , 7 семерка – это десятые доли, в 0 , 0007 – десятитысячные, а в дроби 70 000 , 345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:

Разберем пример.

Пример 1

У нас есть десятичная дробь 43 , 098 . У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9 , тысячных – 8 .

Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые. Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 10 -тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Попробуем разложить дробь 56 , 0455 по разрядам.

У нас получится:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56 + 0 , 0455 , или 56 , 0055 + 0 , 4 и др.

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:

Определение 1

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Примерами таких дробей могут быть 0 , 367 , 3 , 7 , 55 , 102567958 , 231 032 , 49 и др.

Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части). Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал. Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь 5 , 63 мы можем привести к виду 5 63 100 , а 0 , 2 соответствует 2 10 (или любая другая равная ей дробь, например, 4 20 или 1 5 .)

Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 5 13 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100 , 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Определение 2

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть 0 , 143346732 … , 3 , 1415989032 … , 153 , 0245005 … , 2 , 66666666666 … , 69 , 748768152 … . и т.д.

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Определение 3

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

К примеру, для дроби 3 , 444444 … . периодом будет цифра 4 , а для 76 , 134134134134 … – группа 134 .

Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3 , 444444 … . правильно будет записать как 3 , (4) , а 76 , 134134134134 … – как 76 , (134) .

В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0 , 677777 – это то же самое, что 0 , 6 (7) и 0 , 6 (77) и т.д. Также допустимы записи вида 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) и др.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0 , 6 (7) , а, например, в случае с дробью 8 , 9134343434 будем писать 8 , 91 (34) .

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2 , то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.

В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45 , 32 . В периодическом виде она будет выглядеть как 45 , 32 (0) . Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9 , например, 4 , 89 (9) , 31 , 6 (9) . Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 0 , поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом. При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0) . Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

К примеру, дробь 8 , 31 (9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8 , 32 (0) . Или 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

Определение 4

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9 , 03003000300003 … на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Основные действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.

Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.

Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.

Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.

Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 14 10 – это то же самое, что и 1 , 4 , поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15 , 4008 , то мы предварительно представим это число в виде суммы 15 + 0 , 4 + , 0008 . Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15 , 4008 .

Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2 = 1 , 41421 . . . , и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Выше мы приводили рисунок с точкой M . Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1 , 4 .

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Урок в 5 классе, учитель-Шабаршова Екатерина Анатольевна.

Тема урока: Десятичные дроби. Чтение и запись десятичных дробей.

Задачи урока:

Создать условия для изучения и повторения данной темы учащимися;

Развитие памяти, логики, математического мышления;

Воспитание интереса к предмету.

Цель урока:

Повторить запись и чтение десятичных дробей;

преобразование десятичной дроби в обыкновенную и наоборот, обыкновенной дроби в десятичную.

Тип урока: комбинированный;

Метод обучения : словесный, практический, наглядный.

Форма организации : коллективная, индивидуальная;

Содержание деятельности : историческая справка, опрос с помощью сигнальных карточек(устно), решение заданий по учебнику, устный счет «Найди пару», самостоятельная работа.

Оборудование :сигнальные карточки, стикеры для рефлексии, карточки для самооценки, карточки с заданиями для самостоятельной работе.

План урока :

Организационный момент. Эмоциональный настрой.

Актуализация знаний. Историческая справка.

Устный счет «Найди пару».

Работа по учебнику

Самостоятельная работа.

Оценивание учащихся.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Ход урока:

Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Давайте поприветствуем друг друга! Повернитесь лицом друг у другу и улыбнитесь.

Молодцы! И именно на этой приятной ноте, начнем наш сегодняшний урок!

Намеренное деление на группы в соответствии с индивидуальными особенностями учащихся.

Запишите дату в тетрадь, классная работа. Хочу обратить ваше внимание на раздаточный материал на ваших партах, стикеры пока уберем в сторонку, а листы оценивания вам пригодятся с первого задания, как только выполним очередное задание, вы должны в листах сделать самооценку при выполнении этого задания.

Актуализация знаний.

Ребята, на последних уроках мы с вами начали изучать тему «Десятичная дробь. Чтение и запись десятичной дроби». Но мы с вами начали изучать тему, не узнав ее истории, в этом нам поможет ученик нашего класса Шабаршов Анатолий, который подготовил для нас историческую справку.

Историческая справка.

Впервые понятие абстрактной десятичной дроби возникло в 15 ст. Его ввел видающийся математик и астроном ал – Коши (полное имя Джемиад ибн – Масуд ал – Коши ) в работе «Ключ к арифметике» (1427 г) . Открытие ал – Коши в Европе стало известным только через 300 лет.

Ничего, не зная об открытии ал – Коши, десятичные дроби открыл второй раз, приблизительно через 150 лет, после него, фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде « Децималь» (1585 г).

В России учение о десятичных дробях впервые выдал Л.П. Магницкий в своей « Арифметике» - первом российском учебнике математике. (1703 г)

Отделять целую часть от дробной предлагали по – разному. Ал – Коши целую и дробную части писал в один ряд, хотя записывал разными чернилами, или ставил между ними вертикальную черту. С. Стевин для отделения целой части от дробной ставил нуль в кружочке. Принятую в наше время запятую предложил немецкий астроном Й. Кеплер (1571 – 1630).

А теперь давайте вспомним некоторые правила и свойства десятичных дробей.

Правила очень простые, если вы согласны с утверждением, то подымаете красную сигнальную карточку, если же нет, то синию. Начнем!

Для записи десятичных дробей используется дробная черта;(нет)

Для записи десятичных дробей используется запятая;(да)

Целая часть дроби находится перед запятой;(да)

Если в конце десятичной дроби отбросить нули, то значение дроби изменится;(нет)

Знаки стоящие после запятой называются десятичными знаками. (да).

2.Молодцы! А сейчас откройте учебники на странице 197, № 942.(работа у доски)

Устный счет «Найди пару»

0,1

0,5

0,2

0,75

0,04

0,05

Работа по учебнику.

№936 (1) – задание первого уровня сложности

№951 (1,2) – задание второго уровня сложности

№956(1-3) – задание третьего уровня сложности

Задания рассчитаны индивидуальные особенности всех участников группы

Самостоятельная работа.

Вариант 1

Запишите в виде десятичной дроби

; ; ;

Вариант 2

Запишите частное в виде обыкновенной дроби и переведите в десятичную

5: 100; 5749:100; 34:1000; 324:10.

Вариант 3

Приведите смешанные числа к знаменателю 100 и запишите соответствующие десятичные дроби

Задания в самостоятельной работе составлены с учетом индивидуальных особенностей учащихся. Варианты соответствуют уровням сложности.

Оценивание учащихся.

Ученики выставляют себе самостоятельно оценки за урок в листах оценивания и сдают учителю.

Рефлексия.

Молодцы,ребята, сегодня все хорошо поработали, итак, давайте подведем итоги:

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Какие знания и умения вы закрепили сегодня на уроке?

Понравился вам урок?

Стикеры на столе, ученики записывают свое отношение к уроку и наклеивают на приготовленную доску объявлений.

Домашнее задание

№950,№945

ПРИЛОЖЕНИЯ

Задание №

Отлично

Хорошо

Смог(ла) бы лучше

Общая оценка за урок:

Лист оценивания уч-ка (цы):____________________________________________________

Задание №

Отлично

Хорошо

Смог(ла) бы лучше

Урок математики в 5 классе по теме «Десятичная запись дробных чисел»

Тема: Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей.

Цель урока: ввести понятие десятичных дробей, правильное их чтение и запись.

Задачи :

Организовать работу учащихся по изучению и первичному закреплению понятия "десятичная дробь", алгоритма записи десятичных дробей.

Создать условия для формирования УУД:

Коммуникативных УУД: умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Регулятивных УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения

Личностных УУД: формирование учебной мотивации, необходимость приобретения новых знаний.

Тип урока: урок изучения нового материала

Технология построения урока: проблемный метод, работа в парах

Формы работы : индивидуальная, фронтальная, беседа, работа в парах.

Организация деятельности учащихся на уроке:

Самостоятельно выходят на проблему и решают её;

Самостоятельно определяют тему, цели урока;

Выводят правило;

Работают с текстом учебника;

Отвечают на вопросы;

Решают самостоятельно задачи;

Оценивают себя и друг друга;

Рефлектируют.

Методы обучения : словесный, наглядно - иллюстративный, практический

Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация.

Учебно-методическое обеспечение : учебник «Математика. 5 класс» автор Н.Я. Виленкин; компакт-диск «Математика. Преподавание по новым стандартам. Теория. Методика. Практика. Издательство «Учител».